Vi Science: марта 2012

суббота, 24 марта 2012 г.

Форма изображения точечного источника (звезды) в идеальном телескопе без атмосферы определяется только дифракцией и описывается функцией Эйри:

$\begin{displaymath} P_0(\vec{\alpha}) = \frac{\pi D^2}{4 \lambda^2} \left[ \fra... .../\lambda)}{ \pi D \vert\vec{\alpha}\vert/\lambda)} \right] ^2, \end{displaymath}$

(1)

где:

$P(\vec{\alpha})$ - интенсивность света в фокальной плоскости как функция угловой координаты $\vec{\alpha}$ ;
$\lambda$ - длина волны света;
- диаметр апертуры телескопа;
- так называемая функция Бесселя.

Первое темное кольцо находится на угловом расстоянии $1.22 \lambda/D$ от центра. Часто это расстояние считается мерой разрешения идеального телескопа.

Изображение $I(\vec{\alpha})$ астрономического объекта $O(\vec{\alpha})$ можно рассматривать как множество изображений точек, каждое из которых описывается функцией Эйри. Это можно записать как свертку:

$\begin{displaymath} I(\vec{\alpha}) = \int {\rm d} \vec{\beta} \;\; O(\vec{\beta}) \;\; P_0(\vec{\alpha} - \vec{\beta}) = O \odot P_0. \end{displaymath}$

(2)

Мы называем это уравнением изображения. По сравнению с объектом изображение более сглаженное, разрешение уменьшается. Однако, для заданного диаметра телескопа

это ухудшение - наименьшее возможное. В этом случае мы говорим, что разрешение в изображении ограничено дифракцией. Пример астрономического изображения (центр Галактики) с различными разрешениями приведен ниже.

Функция рассеяния точки

Что произойдет, если телескоп не идеален? Изображение точечного источника не будет так хорошо, как функция Эйри, разрешение ухудшится еще сильнее. Но уравнение изображения все равно останется в силе! Таким образом, функция рассеяния точки (PSF) $P(\vec{\alpha})$ - это все, что нужно для характеристики изображения. Ширина PSF - это мера разрешения.

Замечание 1. Мы неявно продполагаем, что в приведенных выше уравнениях $P(\vec{\alpha})$ описывает изображение звезды единичной интенсивности, т.е. интеграл $P(\vec{\alpha})$ по $\alpha$ равен 1. Таким образом, уравнение изображения сохраняет полный поток от астрономического объекта, только по-разному распределяет его по пикселам.

Замечание 2. Мы предположили, что PSF имеет одинаковый вид по всему полю зрения. Это условие называется изопланатизмом. Для астрономических изображений это не всегда справедливо, особенно при использовании AO, так как PSF медленно изменяется по полю. В этом случае уравнение изображения можно применять к частям поля зрения.

Критерии разрешения

Форма PSF может быть неправильной; как в этом случае количественно измерить разрешение?

1. Полная ширина на уровне половины максимума (FWHM) PSF.

2. Число Штреля

, то есть центральная интенсивность PSF по сравнению с центральной интенсивностью функции Эйри. Чем выше число Штреля, тем лучше разрешение. Ограниченное дифракцией изображение - самое лучшее, так как всегда $S \leq 1$ .

3. Энергия в круге. По определению, интеграл PSF равен 1. Интеграл от PSF в круге радиусом $\beta$ называется энергией в круге. Эта характеристика важна при наблюдениях слабых объектов, когда необходимо как можно лучше сконцентрировать фотоны.

Пример PSF с исправлением турбулентности показан на рисунке ниже.

Оптическая передаточная функция

Другой способ описания уравнения изображения - это использование преобразований Фурье (FT, будем обозначать их тильдой). Свертка становится произведением, и

$\begin{displaymath} \tilde{I}(\vec{f}) = \tilde{O}(\vec{f}) \cdot \tilde{P}(\vec{f}). \end{displaymath}$

(3)

Здесь $\vec{f}$ это пространственная частота (если $\alpha$ измеряется в радианах, то

измеряется обратных радианах).

$\tilde{P}(\vec{f})$ называется оптической передаточной функцией (OTF). Она описывает изменение модуля и фазы FT объекта в процессе получения изображений. Модуль OTF называется модуляционной передаточной функцией (MTF). Для астрономических (некогерентных) изображений, $\vert\tilde{P}(\vec{f})\vert \leq 1$ . Обычно MTF уменьшается с увеличением частоты, поэтому мелкие (высокочастотные) детали в изображении ослабляются и в конечном счете теряются.

Известно, что для любой оптической системы $\vert\tilde{P}(\vec{f})\vert =0$ для $\vert\vec{f}\vert \ge f_c$ , где $f_c = D/\lambda$ называется частотой отсечки ,

- максимальный размер апертуры. Это означает, что информация о пространственных частотах выше

безвозвратно теряется. Чтобы увидеть маленькие объекты, нужны большие телескопы!

Соотношение между PSF и OTF - это преобразование Фурье, поэтому если вы знаете одну функцию, вы знаете и другую, это различные представления одного явления. Из свойств преобразования Фурье следует, что $\tilde{P}(0) =1$ (нормировка PSF), и что число Штреля пропорционально интегралу OTF по частотам.

Получение изображений сквозь атмосферу: длинные экспозиции

Атмосферную турбулентность можно рассматривать как случайную фазовую аберрацию, приложенную к телескопу. Эти аберрации постоянно изменяются со временем, и так же ведет себя PSF. Здесь мы рассмотрим среднюю PSF, соответствующую длинным экспозициям. Из теории следует выражение

$\begin{displaymath} \tilde{P}_{\rm LE}(\vec{f}) = \tilde{P}_0(\vec{f}) \tilde{P}_a(\vec{f}). \end{displaymath}$

(4)

Где $\tilde{P}_0(\vec{f})$ - OTF телескопа (смотри выше) и $\tilde{P}_a(\vec{f})$ - атмосферная передаточная функция. Для больших телескопов с хорошим качеством оптики разрешение полностью определяется атмосферой, поэтому мы пренебрегаем первым членом и $\tilde{P}_{\rm LE} \approx \tilde{P}_a$ . Конечно, атмосферная PSF $P_{\rm LE}$ получена преобразованием Фурье из $\tilde{P}_{\rm LE}$ .

OTF атмосферы связана со статистикой атмосферных фазовых аберраций, так называемой фазовой структурной функцией $D_{\phi}(\vec{r})$ (смотри следующий раздел):

$\begin{displaymath} \tilde{P}_a(\vec{f}) = \exp [-0.5 D_{\phi}(\lambda \vec{f}) ]. \end{displaymath}$

(5)

Замечание: В этой формуле мы переходим от пространственных координат в плоскости волнового фронта к пространственным частотам в плоскости изображения, умноженным на длину волны. Это соотношение следует из волновой оптики: каждая Фурье-компонента изображения создается интерференцией световых волн, разделенных определенным расстоянием. Этот принцип используется в радио- и оптических интерферометрах.

Изображения звёзд:

1- СЛАБАЯ ЗВЕЗДА	4- ОДНА ОБЛАСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
2- ЯРКАЯ ЗВЕЗДА	5- РАЗНЫЕ ОБЛАСТИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
3- ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ

Дальше »

Явление атмосферной турбулентности

Оглавление

Определение атмосферной турбулентности и турбулентного течения
Единицы измерения
Возникновение
Создание (искусственное) турбулентности
Наблюдение турбулентности в мире , вокруг и внутри нас

1. Определение атмосферной турбулентности и турбулентного течения

Атмосферная турбулентность— одно из характерных свойств атмосферы Земли, состоящее в беспорядочном изменении давления, температуры воздуха, скорости и направления ветра. Турбулентность же есть физическое явление, характеризующееся нерегулярными взаимными перемещениями объёмов среды (жидкости или газа) и их перемешиванием и сопровождающееся хаотическими изменениями газодинамических переменных в пространстве и времени. ). Турбулентный режим способствует тепло- и влагообмену в атмосфере Земли; наблюдается в пограничном слое атмосферы, простирающемся над равнинами умеренных широт до высоты 1 км. Турбулентность обусловлена топографической неоднородностью поверхности Земли, её теплофизическими свойствами, приводящими к неравномерному нагреванию (охлаждению), особенностями вертикальных профилей температуры и скорости воздушных потоков.

В общем случае, турбуле́нтное тече́ние — это явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии.

2. Единицы измерения

Воздушное течение часто характеризуют безразмерной величиной, так называем числом Ричардсона, однако в единицах измерения атмосферной турбулентности нередко можно встретить её характеристику в единицах g — ускорения свободного падения (1g = 9,8 м/с²). Шквал в один g создаёт опасную для самолётов турбулентность. В верхней части интенсивных гроз зарегистрированы вертикальные ускорения до трёх g.

3. Возникновение

Для возникновения турбулентности необходима сплошная среда, которая подчиняется кинетическому уравнению Больцмана, Навье — Стокса или пограничного слоя. Уравнение Навье — Стокса (в него входит и уравнение сохранения массы или уравнение неразрывности) описывает множество турбулентных течений с достаточной для практики точностью. Турбулентность возникает самопроизвольно, когда соседние области среды следуют рядом или проникают один в другой, при наличии перепада давления или при наличии силы тяжести, или когда области среды обтекают непроницаемые поверхности. Волны (турбулентные "завихрения") возникают чаще всего либо на границе, у стенки, и/или при разрушении или опрокидывании волны. Они могут образоваться на струях. Турбулентность экспериментально открыта английским инженером Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения несжимаемой жидкости (воды) в трубах.

Обычно турбулентность наступает при превышении некоторого критического параметра, например числа Рейнольдса или Релея (в частном случае скорости потока при постоянной плотности и диаметре трубы и/или температуры на внешней границе среды).

Возникновение же атмосферной турбулентности связано с потерей гидродинамической устойчивости потока и генерацией волновых возмущений, потерей устойчивости и вырождением волновых возмущений, генерацией турбулентности и диссипацией турбулентной энергии в теплоту. Развитие атмосферной турбулентности обусловлено динамическими и термическими причинами.

4. Создание (искусственное) турбулентности

Турбулентность может возникать при наличии вынуждающей случайной силы. Обычно внешняя случайная сила и сила тяжести действуют одновременно. Например, при землетрясении или порыве ветра падает лавина с горы, внутри которой течение снега турбулентно. Мгновенные параметры потока (скорость, температура, давление, концентрация примесей) при этом хаотично колеблются вокруг средних значений. Зависимость квадрата амплитуды от частоты колебаний (или спектр Фурье) является непрерывной функцией.

Турбулентность, например, можно создать:

увеличив число Рейнольдса (увеличить линейную скорость или угловую скорость вращения потока, размер обтекаемого тела, уменьшить первый или второй коэффициент молекулярной вязкости, увеличить плотность среды);

увеличив число Релея (нагреть среду);

увеличить число Прандтля (уменьшить вязкость);

задать очень сложный вид внешней силы (примеры: хаотичная сила, удар). Течение может не иметь фрактальных свойств.

создать сложные граничные или начальные условия, задав функцию формы границ. Например, их можно представить случайной функцией. Например: течение при взрыве сосуда с газом. Можно, например, организовать вдув газа в среду, создать шероховатую поверхность. Использовать разгар сопла. Поставить сетку в течение. Течение может при этом не иметь фрактальных свойств.

создать квантовое состояние. Данное условие применимо только к изотопу гелия 3 и 4. Все остальные вещества замерзают, оставаясь в нормальном, не квантовом состоянии.

облучить среду звуком высокой интенсивности.

с помощью химических реакций, например горения. Форма пламени, как и вид водопада может быть хаотичной.

5. Наблюдение турбулентности в мире , вокруг нас и в нас

5.1 В быту

Экспериментально турбулентность (турбулентные "завихрения") можно наблюдать на конце струи пара из электрочайника. Положив сахар в стакан с чаем, мы всегда размешиваем его. Для чего? Если не размешивать чай, то растворение сахара будет происходить чрезвычайно медленно, так же как и распространение сладкого раствора на остальную часть жидкости. Молекулы сахара, попавшие в раствор, сталкиваются с окружающими молекулами воды, и им очень трудно «пробиться» дальше от того места, в котором они были «выпущены». Перемешивая же раствор, мы можем быстро распределить находящийся в стакане сахар более или менее равномерно по всему объему.

Можно также представить себе прямую стеклянную трубу, по которой течет вода. Если в начальной части трубы подмешивать к воде частицы какого-либо ярко окрашенного вещества, подобрав его таким, чтобы частицы не всплывали, но и не тонули, то можно будет наблюдать движение и траектории этих частиц. Оказывается, что если скорость течения воды не очень велика, то траектории каждой частицы будут прямолинейными. Если выпускать окрашенные частицы в одном и том же месте поперечного сечения трубы, то они будут двигаться по одной и той же траектории. Такое движение носит название ламинарного. Но если увеличивать скорость движения воды, то начиная с некоторой «критической» скорости (эта скорость тем меньше, чем больше диаметр трубы) движение изменяет свой характер. Траектории движения частиц начинают искривляться; частица движется не только вдоль оси трубы, но и в поперечном

направлении. Однако самое основное отличие такого турбулентного течения от ламинарного заключается в том, что если выпускать окрашенные частицы все время в одном и том же месте трубы, их траектории окажутся различными; причем заранее нельзя предвидеть, какими именно они будут. Траектории движения жидкости в турбулентном потоке становятся «случайными» и частицы могут попадать в любое место трубы. Если же наблюдать за течением в какой-либо фиксированной точке, то окажется, что величина и направление скорости испытывают беспорядочные изменения — флуктуации.

5.2 В течении воздуха при полёте самолёта

По-видимому, каждый, кому приходилось летать на самолете, иногда ощущал одно из неприятных последствий атмосферной турбулентности — «болтанку». Атмосферу можно сравнить с громадной «трубой», по которой течет воздух. Так как «диаметр» этой трубы очень велик, то практически при всех скоростях ветра, которые наблюдаются в природе, движение воздуха носит турбулентный характер.

К чему же приводит турбулентность атмосферы? Проследим за полетом самолета. Подъемная сила, действующая на его крылья, зависит от скорости набегающего на них потока воздуха. Во время полета он пересекает области пространства, в которых за счет турбулентных флуктуаций скорость ветра различна. Поэтому различной оказывается и подъемная сила, действующая на самолет, в результате чего он и испытывает «болтанку».

5.2.2. Турбулентная диффузия

В атмосфере перемешивание частиц объёмов разных компонент осуществляется за счет турбулентности, так как траектории движения отдельных небольших масс воздуха носят чрезвычайно запутанный характер и попадают в различные части атмосферы. Описанный способ распространения примесей носит название турбулентной диффузии.

Турбулентная диффузия имеет огромное значение для нашей жизни. Не будь ее, атмосфера имела бы совсем иное строение, чем это наблюдается в природе. Тяжелые газы, такие как углекислота и аргон, которых в атмосфере сравнительно немного, концентрировались бы у поверхности земли, так что газовый состав той части атмосферы, в которой мы живем, был бы совсем иным, что существенным образом отразилось бы на нашей жизни. Кроме того, многочисленные примеси, которые загрязняют атмосферу (дым, отходы химической промышленности, радиоактивные примеси и т. д.), также концентрировались бы у поверхности земли. И только за счет непрерывного турбулентного перемешивания атмосферы ее химический состав практически постоянен во всей толще вплоть до высот более ста километров.

Турбулентная диффузия имеет большое значение и для теплового режима атмосферы. Солнечные лучи практически не поглощаются атмосферой и нагревают поверхность земли. Нагретая поверхность отдает часть тепла за счет собственного излучения (излучает, хотя бы и слабо, любое нагретое тело). Но значительная часть теплоотдачи земной поверхности обусловлена турбулентностью. Массы воздуха, соприкасающиеся с поверхностью земли, нагреваются, а попадая затем на большие высоты, отдают полученное тепло более высоким слоям атмосферы.

5.3. Флуктуации потоков различной температуры

Турбулентность обусловливает также и флуктуации (беспорядочные изменения) температуры атмосферы. Нижние ее слои имеют большую температуру, чем высокие. Вследствие турбулентного перемешивания отдельные небольшие массы воздуха попадают с одной высоты на другую и приносят с собой «свое» значение температуры, которое отличается от температуры окружающего воздуха. В результате возникают неоднородности температуры атмосферы. Аналогичным образом возникают и неоднородности влажности.

5.4 Влияние атмосферной турбулентности на наблюдения в астрономии (наблюдения за звёздами с поверхности земли)

С неоднородностями температуры и влажности связаны неоднородности показателя преломления воздуха. Показатель преломления характеризует скорость распространения света и радиоволн в веществе и зависит от температуры и влажности воздуха. В турбулентной атмосфере показатель преломления хаотически меняется от точки к точке. Но такое изменение показателя преломления эквивалентно тому, что в атмосфере разбросаны собирающие и рассеивающие линзы. Ведь с оптической точки зрения, линза — это просто часть пространства, в которой показатель преломления отличается от показателя преломления окружающей среды. Проследим за лучом света, пронизывающим атмосферу. На своем пути он встречает множество «случайных линз», в результате чего происходит или фокусировка, или де фокусировка луча. «Линзы» переносятся ветром, так что луч пронизывает в разные моменты времени различные неоднородности. В результате этого интенсивность света, попадающего в глаз или телескоп, беспорядочно меняется. Это — хорошо известное всем явление мерцания звезд. Особенно сильно мерцают удаленные наземные источники света, так как в этом случае луч проходит вдоль поверхности земли, где турбулентность наиболее интенсивна.

Описанная «оптическая нестабильность» атмосферы сильно мешает астрономическим наблюдениям, так что в последнее время были предприняты попытки проводить эти наблюдения, поднимая телескопы с помощью аэростатов на большие высоты. Оптическая нестабильность атмосферы может являться большой помехой и при использовании лазеров как средств связи.

В связи с указанным выше,резкость изображений наземных телескопов ограничивается эффектом атмосферной турбулентности. Данный недостаток может быть устранен посредством адаптивной оптики, позволяя получить снимки, не уступающие по качеству космическим. Последнее означает, что астрономические объекты могут быть изучены более детально, и можно наблюдать более слабые звезды.

Однако чтобы работать, системе адаптивной оптики нужна опорная звезда, которая должна быть достаточно яркой. Некоторые области неба не имеют их, и потому не могут наблюдаться таким способом. Чтобы обойти это ограничение, астрономы используют мощный лазер, который создает искусственную звезду – там, где они захотят, и тогда, когда захотят.

Вот наглядные фотографии, которые были получены через подзорную трубу. Поскольку труба и фотоаппарат не имели жёсткой опоры, звезда за время экспозиции оставляет трек. Из-за атмосферной турбулентности звезда мерцает и быстро меняет цвет.