суббота, 24 марта 2012 г.

Получение изображений при турбулентности

Функ

Использованы материалы ресурсов:


Идеальный телескоп

Airy function
Форма изображения точечного источника (звезды) в идеальном телескопе без атмосферы определяется только дифракцией и описывается функцией Эйри:



\begin{displaymath} P_0(\vec{\alpha}) = \frac{\pi D^2}{4 \lambda^2} \left[ \fra... .../\lambda)}{ \pi D \vert\vec{\alpha}\vert/\lambda)} \right] ^2, \end{displaymath}(1)

где:

  • $P(\vec{\alpha})$ - интенсивность света в фокальной плоскости как функция угловой координаты $\vec{\alpha}$;
  • $\lambda$ - длина волны света;
  • $D$ - диаметр апертуры телескопа;
  • $J_1$ - так называемая функция Бесселя.
Первое темное кольцо находится на угловом расстоянии $1.22 \lambda/D$ от центра. Часто это расстояние считается мерой разрешения идеального телескопа.
Изображение $I(\vec{\alpha})$ астрономического объекта $O(\vec{\alpha})$ можно рассматривать как множество изображений точек, каждое из которых описывается функцией Эйри. Это можно записать как свертку:

\begin{displaymath} I(\vec{\alpha}) = \int {\rm d} \vec{\beta} \;\; O(\vec{\beta}) \;\; P_0(\vec{\alpha} - \vec{\beta}) = O \odot P_0. \end{displaymath}(2)


Мы называем это уравнением изображения. По сравнению с объектом изображение более сглаженное, разрешение уменьшается. Однако, для заданного диаметра телескопа $D$ это ухудшение - наименьшее возможное. В этом случае мы говорим, что разрешение в изображении ограничено дифракцией. Пример астрономического изображения (центр Галактики) с различными разрешениями приведен ниже.

Galactic Center

Функция рассеяния точки

Что произойдет, если телескоп не идеален? Изображение точечного источника не будет так хорошо, как функция Эйри, разрешение ухудшится еще сильнее. Но уравнение изображения все равно останется в силе! Таким образом, функция рассеяния точки (PSF) $P(\vec{\alpha})$ - это все, что нужно для характеристики изображения. Ширина PSF - это мера разрешения.
Замечание 1. Мы неявно продполагаем, что в приведенных выше уравнениях $P(\vec{\alpha})$ описывает изображение звезды единичной интенсивности, т.е. интеграл $P(\vec{\alpha})$ по $\alpha$ равен 1. Таким образом, уравнение изображения сохраняет полный поток от астрономического объекта, только по-разному распределяет его по пикселам.
Замечание 2. Мы предположили, что PSF имеет одинаковый вид по всему полю зрения. Это условие называется изопланатизмом. Для астрономических изображений это не всегда справедливо, особенно при использовании AO, так как PSF медленно изменяется по полю. В этом случае уравнение изображения можно применять к частям поля зрения.



Критерии разрешения



Форма PSF может быть неправильной; как в этом случае количественно измерить разрешение?
1. Полная ширина на уровне половины максимума (FWHM) PSF.
2. Число Штреля $ S = P(0)/P_0(0)$, то есть центральная интенсивность PSF по сравнению с центральной интенсивностью функции Эйри. Чем выше число Штреля, тем лучше разрешение. Ограниченное дифракцией изображение - самое лучшее, так как всегда $S \leq 1$.
3. Энергия в круге. По определению, интеграл PSF равен 1. Интеграл от PSF в круге радиусом $\beta$ называется энергией в круге. Эта характеристика важна при наблюдениях слабых объектов, когда необходимо как можно лучше сконцентрировать фотоны.
Пример PSF с исправлением турбулентности показан на рисунке ниже.




Оптическая передаточная функция

Другой способ описания уравнения изображения - это использование преобразований Фурье (FT, будем обозначать их тильдой). Свертка становится произведением, и

\begin{displaymath} \tilde{I}(\vec{f}) = \tilde{O}(\vec{f}) \cdot \tilde{P}(\vec{f}). \end{displaymath}(3)


Здесь $\vec{f}$ это пространственная частота (если $\alpha$ измеряется в радианах, то $f$ измеряется обратных радианах).

$\tilde{P}(\vec{f})$ называется оптической передаточной функцией (OTF). Она описывает изменение модуля и фазы FT объекта в процессе получения изображений. Модуль OTF называется модуляционной передаточной функцией (MTF). Для астрономических (некогерентных) изображений, $\vert\tilde{P}(\vec{f})\vert \leq 1$. Обычно MTF уменьшается с увеличением частоты, поэтому мелкие (высокочастотные) детали в изображении ослабляются и в конечном счете теряются.
Известно, что для любой оптической системы $\vert\tilde{P}(\vec{f})\vert =0$ для $\vert\vec{f}\vert \ge f_c$ , где $f_c = D/\lambda$ называется частотой отсечки , $D$- максимальный размер апертуры. Это означает, что информация о пространственных частотах выше $f_c$ безвозвратно теряется. Чтобы увидеть маленькие объекты, нужны большие телескопы!
Соотношение между PSF и OTF - это преобразование Фурье, поэтому если вы знаете одну функцию, вы знаете и другую, это различные представления одного явления. Из свойств преобразования Фурье следует, что $\tilde{P}(0) =1$ (нормировка PSF), и что число Штреля пропорционально интегралу OTF по частотам.

Получение изображений сквозь атмосферу: длинные экспозиции

OTF plots
Атмосферную турбулентность можно рассматривать как случайную фазовую аберрацию, приложенную к телескопу. Эти аберрации постоянно изменяются со временем, и так же ведет себя PSF. Здесь мы рассмотрим среднюю PSF, соответствующую длинным экспозициям. Из теории следует выражение



\begin{displaymath} \tilde{P}_{\rm LE}(\vec{f}) = \tilde{P}_0(\vec{f}) \tilde{P}_a(\vec{f}). \end{displaymath}(4)

Где $\tilde{P}_0(\vec{f})$ - OTF телескопа (смотри выше) и $\tilde{P}_a(\vec{f})$- атмосферная передаточная функция. Для больших телескопов с хорошим качеством оптики разрешение полностью определяется атмосферой, поэтому мы пренебрегаем первым членом и $ \tilde{P}_{\rm LE} \approx \tilde{P}_a$. Конечно, атмосферная PSF $P_{\rm LE}$ получена преобразованием Фурье из $\tilde{P}_{\rm LE}$.

OTF атмосферы связана со статистикой атмосферных фазовых аберраций, так называемой фазовой структурной функцией$D_{\phi}(\vec{r})$ (смотри следующий раздел):

\begin{displaymath} \tilde{P}_a(\vec{f}) = \exp [-0.5 D_{\phi}(\lambda \vec{f}) ]. \end{displaymath}(5)


Замечание: В этой формуле мы переходим от пространственных координат в плоскости волнового фронта к пространственным частотам в плоскости изображения, умноженным на длину волны. Это соотношение следует из волновой оптики: каждая Фурье-компонента изображения создается интерференцией световых волн, разделенных определенным расстоянием. Этот принцип используется в радио- и оптических интерферометрах. 

Изображения звёзд: 


1- СЛАБАЯ ЗВЕЗДА4- ОДНА ОБЛАСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
2- ЯРКАЯ ЗВЕЗДА5- РАЗНЫЕ ОБЛАСТИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
3- ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ
6- ИСКУССТВЕННАЯ ЗВЕЗДА
7- ЛАЗЕРНЫЕ ЛУЧИ
Чтобы увидеть слабый объект, астрономы используют более яркие звезды для измерения атмосферной турбулентности (1). Этот метод, однако, работает только в том случае, когда яркая звезда находится достаточно близко от наблюдаемого объекта. Если она находится далеко, то свет от объекта и от звезды проходит через области с различной степенью турбулентности (2). Так как звезд, могущих служить в качестве опорных, немного, то метод можно применять лишь на небольших участках неба. Один из путей преодоления этого ограничения заключается в создании искусственной опорной звезды при помощи направляемого вверх лазерного луча (3). Используя "решетку" из таких лазерных маяков, астрономы могут "заполнить светом" все поле зрения (4). Близко расположенная звезда, однако, требуется, чтобы навести телескоп на объект.



1- сферический волновой фронт4- телескоп
2- турбулентный слой5- сфокусированное изображение
3- искаженный волновой фронт6- расфокусированное изображение
Качество изображения удаленной звезды зависит от степени сохранения сферической формы волнового фронта приходящего света. Если все участки волнового фронта могут быть сфокусированы в одной точке, мы получаем качественное точечное изображение (слева). Однако атмосферная турбулентность искажает фронт волны случайным образом, что приводит к расфокусировке в фокальной плоскости и к размытию изображения (справа).


1- ТЕЛЕСКОП6- ИСПРАВЛЕННЫЙ ВОЛНОВОЙ ФРОНТ
2- ИСКАЖЕННЫЙ ВОЛНОВОЙ ФРОНТ7- ФОТОПРИЕМНИК
3- ДЕФОРМИРУЕМОЕ ЗЕРКАЛО8- УЛУЧШЕННОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
4- КОРРЕКТОР9- ИЗОБРАЖЕНИЕ ДВОЙНОЙ ЗВЕЗДЫ БЕЗ КОРРЕКЦИИ
5- ДАТЧИК ВОЛНОВОГО ФРОНТА10- ИЗОБРАЖЕНИЕ ДВОЙНОЙ ЗВЕЗДЫ С КОРРЕКЦИЕЙ


Когерентность света

Звезды - не точки с бесконечно малыми угловыми размерами, а имеют конечный (хотя и очень малый) угловой размер. Например, диск Солнца с радиусом видимой фотосферы  см с расстояния 10 пк виден под углом. Поскольку наблюдения проводятся телескопами (приемниками) с конечной апертурой (диаметром) , нужно учитывать дифракцию Френеля: для монохроматичекого источника с длиной волны  размер дифракционного кружка изображения .

ЗАМЕЧАНИЕ: Атмосферная турбулентность искажает фронт световой волны, размывая точечное изображение до размеров порядка 1", что намного больше диаметра дифракционного кружка. Довольно редко на высокогорных обсерваториях достигается "качество изображения"  (напрмер, в обсерватории Мауна Кеа (4000 м над у.м.) на Гавайских островах, в Европейской Южной Обсерватории в Чили, на горной обсерватории Майданак в Узбекистане). Космические телескопы, разумеется, свободны от влияния атмосферы, и там достигается дифракционный предел углового разрешения.
Если источник не точечный и имеет конечный угловой размер , то при  источник должен рассматриваться как когерентный, т.к. разница в длине пути лучей с разных "краев" источника меньше половины длины волны (пример - звезда Вега: , пусть  м,  A, тогда , т.е. любое отклонение волнового фронта в пределах угла  оставляет изображение когерентным (разность фаз не превышает ). Таким образом, из-за случайных искажений волнового фронта от источника с угловым размером  будет наблюдаться интерференционная картина до тех пор, пока . На этом принципе основаны звездные интерферометры Майкельсона, с помощью которых измерили диаметры некоторых близких звезд-гигантов еще в 1920-х гг. Основная проблема этого метода - размытие интерференционной картины атмосферной турбулентностью.
Реальные источники, как правило, не монохроматические. Для них важно понятие длины (области) когерентности. Из оптики известно, что по мере увеличения разности хода контраст интерференционных полос уменьшается. Разность хода записывается в виде , где  - время когерентности. Для источника с полосой частот , время когерентности есть просто, где  - скорость света. Физический смысл длины когерентности прост. Это предельно допустимая разность хода для видности интерференционных полос. В зависимости от соотношения апертура - длина когерентности в различных диапазонах различают когерентный и некогерентный прием сигнала.
Рассмотрим к примеру оптический диапазон,  A,  А, тогда  см и составляет несколько длин волн. Наоборот, в радиодиапазоне, где используются узкополосные детекторы (см,  МГц длина когерентности  см и составляет  несколько сотен длин волн. Тем самым в длинноволновом диапазоне может осуществляться когерентный прием сигнала и достигаться очень высокие угловые разрешения (радиоинтерферометрия). В оптике и более жестком диапазоне прием практически всегда некогерентный. Несмотря на это можно делать оптическую интерферометрию, используя идею метода апертурного синтеза (см. выше). Для этого требуется по крайней мере два телескопа на расстоянии  друг от друга и делаются короткие экспозиции (чтобы турбулетность атмосферы не размыла интерфернционную картину) при различных ориентациях оси телескоп-телескоп относительно источника (этому помогает суточное вращение Земли). Полученная интерференционная картина в принципе может достигать углового разрешения , для этого требуется сведение лучей от обеих телескопов в едином фокусе с разностью хода, не превышающей длину когерентности. Эта технически сложная задача будет реализована на 4-х телескопах VLT Европейской Южной Обсерватории, и эквивалентный диаметр интерферометра VLT будет равняться 16 м с угловым разрешением  на длине волны 5000 А. В 2000 г. в вошел в строй второй из четырех 8.2-м телескопов VLT. К концу 2001 года были получены первые интерферометричвеские наблюдения на двух телескопах VLT, работающих в режиме интерферометра с базой 102 м. Измерены угловые размеры нескольких звезд на уровне одной миллисекунды дуги (рекорд наземных наблюдений). К 2010 г. планируется запуск космического интерферометра TPF (Terrestrial Planet Finder), состоящего из четырех 3.5-м телескопов с максимальной базой 1 км. Угловой разрешение достигнет  на длине волны 3 мкм и главная научная задача этого интерферометра будет поиск планет земного типа вокруг ближайших звезд.

Спекл-интерферометрия

Как мы упоминали выше, атмосферная турбулентность искажает волновой фронт и "размывает" изображение звезды. На Рис. 3.4схематически показано прохождение волнового фронта через турбулентную атмосферу. Для количественной характеристики масштаба турбулентности в атмосфере вводится параметр  (так называемый параметр Фрида). По физический смыслу он эквивалентен диаметру телескопа, имеющего дифракционный предел полуширины изображения , которое соответствует изображению, создаваемому атмосферой при наблюдении точечного источника идеальным телескопом с бесконечным размером зеркала. Параметр Фрида зависит от длины волны источника  и в оптическом диапазоне варьируется в пределах 5-20 см. Чем больше параметр Фрида, тем более пригодно место для астрономических наблюдений.
Телескоп малых размеров  строит дифракционное изображение своей апертуры  и практически не чувствует атмосферное размытие изображения (левая часть рисунка). Телескоп большого диаметра  (правая часть рисунка) одновременно строит большое число отдельных дифракционных изображений источника, которые "размываются" турбулентностью в области с угловыми размерами . Таким образом при достаточно длинных экспозициях угловое разрешение большого телескопа полностью определяется размером создаваемого атмосферой изображения.


Рис. 3.59 Прохождение света через турбулентную атмосферу. Слева - регистрация телескопом малой апертуры , справа - телескопом большой апертуры .  - параметр Фрида, характеризующий масштаб турбулентности.
Разумеется, вынос телескопа за атмосферу (например, космический телескоп им. Хаббла) снимает проблему влияния атмосферы, но это весьма дорогостоящий способ улучшения качества изображения. В 1970-х гг. французский астроном A.Labeyrie для увеличения углового разрешения больших наземных телескопов предложил метод спекл-интерферометрии3.4, получивший широкое распространение. Метод состоит в статистической обработке очень коротких экспозиций ( сек,  - дисперсия турбулентных скоростей), за время которых дифракционное изображение не "размазывается" атмосферой (ср. мерцание звезд!) (Рис. 3.5). На одной спеклограмме (верхняя панель рисунка) отчетливо видны отдельные изображения двойной звезды ("спеклы"). Их число . Если сложить последовательные спеклограммы (в среденй части рисунка сложены 128 спеклограмм), увеличивая тем самым время экспозиции, то из-за случайности фаз отдельных дифракционных изображений деструктивная интерференция замоет картину (средняя часть рисунка). Однако простая математическая обработка одной спеклограммы позволяет восстановить исходную картину (нижняя часть рисунка). Например, в нижней части рисунка приведена автокорреляционная функция верхней спеклограммы. Отчетливо видна главная звезда (большой пик) с дифракционным разрешением  и звезда-спутник меньшей интенсивности (маленький пик справа и слева от большого; пики по краям картинки являются артефактами процедуры обработки).

Рис. 3.60 Спеклограмма двойной звезды (сверху), сумма 128 спеклограмм (середина) и автокорреляционная функция одной спеклограммы, на которой отчетливо водина двойственность источника.
Для успешной спекл-интерферометрии существенны два условия: 1) короткие экспозиции ( характерного времени турбулентных дрожаний) и 2) достаточно узкая полоса приемника, чтобы быть в зоне когерентности. Интерференционная картина от источника конечных угловых размеров будет видна, если угловой размер его изображения меньше отношения длины когерентности к диаметру телескопа.
Пример: звезда с угловым диаметром , длина волны  A, телескоп  м, при этом можно делать спекл-интерферометрию (и например измерить угловой диаметр этой звезды или угловое расстояние между двумя тесными звездами ) уже при полосе приемника  A.
Как работает адаптивная оптика.

Адаптивная оптика может компенсировать искажения фронта световой волны от звезды. Под адаптивной оптикой понимают оптические устройства, которые механически изменяют свои параметры таким образом, чтобы скомпенсировать искажения волнового фронта, вызванные атмосферной турбулентностью и иными причинами. В астрономических приборах используют специальные деформируемые зеркала с диаметром порядка 20 см, форма поверхности которых изменяется в процессе экспозиции. Число сенсоров обратной связи, деформирующих зеркало (т.н. активаторов), грубо говоря определяется из требования 


( - диаметр главного зеркала телескопа). Зависимость от длины волны показывает, что адаптивная оптика должна лучше работать в красной области спектра. В реальных устройствах число активаторов не превышает 100. Свет от главного зеркала направляется на деформируемое зеркало, которое "корректирует" волновой фронт и направляет исправленный пучок в основной фокус. Корректировка осуществляется в реальном времени путем подачи специального корректирующего сигнала на активаторы деформируемого зеркала. Сигнал вырабатывается устройством, измеряющим наклон и кривизну волнового фронта отраженного от главного зеркала света.Для контроля за формой волнового фронта используют или яркую реперную звезду или (если рядом с наблюдаемым объектом ярких звезд нет) "искусственную звезду", т.е. кратковременную подсветку участка неба мощным лазерным импульсом, настроенным на частоту резонансного перехода  атома натрия. Свечение образуется на высотах порядка 90 км. Сначала оптическая система телескопа собирает приходящий свет и формирует из него узкий параллельный пучок. Этот пучок отражается от гибкого зеркала и от второго (плоского) зеркала, предназначенного для коррекции случайных смещений изображения. Далее пучок расщепляется на две части светоделительной пластинкой. Одна из них отражается от пластинки и поступает на датчик волнового фронта, измеряющий степень искажения каждого участка фронта волны. Сигнал от датчика приходит в процессор, управляющий гибким зеркалом и зеркалом, корректирующим смещения изображения. Поэтому вторая часть пучка, прошедшая через светоделитель, оказывается свободной от искажений волнового фронта и стабильной по положению. Этот корректированный пучок направляется на фото- или видеокамеру, регистрирующую изображение, свободное от искажений. 
в 
г





Статистика турбулентности

Искаженный атмосферой волновой фронт можно представить как смятый лист бумаги. Волна, приходящая от звезды, перед вхождением в атмосферу плоская. Затем некоторые ее части проходят через воздух теплее среднего (меньший показатель преломления) и уходят вперед, другие части отстают, и плоский волновой фронт деформируется. Задача адаптивной оптики - скомпенсировать эти искажения. Но вначале мы должны описать их в статистическом смысле.
Distorted wave-front
Воздух обладает некоторой дисперсионной способностью, но обычно этим пренебрегают, и возмущения оптического пути $l(\vec{x})$ рассматриваются как ахроматичные. Однако, фаза оптической волны $\phi(\vec{x}) = \frac{2\pi}{\lambda}l(\vec{x})$ сильно зависит от длины волны$\lambda$! Говоря о возмущениях, мы предполагаем, что их среднее значение равно нулю, $\langle \phi \rangle = 0$ (угловые скобки обозначают статистическое усреднение).


Хотя случайные процессы, подобные $\phi(\vec{x})$ обычно описываются корреляционными или ковариционными функциями, в исследованиях атмосферы предпочитают структурные функции. Структурная функция - это средняя разность между двумя значениями случайного процесса:



Колмогоровская модель турбулентных искажений задает определенную форму фазовой структурной функции, а именно

\begin{displaymath} D_{\phi}(\vec{r}) = 6.88 \left( \frac{\vert\vec{r}\vert}{r_0} \right) ^{5/3}. \end{displaymath}(7)

В этой формуле только один па

раметр, $r_0$, который называется радиусом атмосферной когерентности или параметром Фрида.Учитывая, что длина пути ахроматична, мы получаем, что $r_0 \propto \lambda^{6/5}$. Определяя $r_0$, всегда указывайте соответствующую длину волны!
Эта модель, хотя она и может показаться примитивной, является основанием всей теории получения изображений сквозь турбулентность, включая адаптивную оптику. Конечно, модель плохо работает на больших (больше нескольких Теперь мы подставим эту модель в атмосферную OTF для длинных экспозиций, и получим ее в форме:

\begin{displaymath} \tilde{P}_a(\vec{f}) = \exp [-3.44 (\lambda \vert\vec{f}\vert/r_0 )^{5/3} ]. \end{displaymath}(8)


Применив преобразование Фурье к этому уравнению, получим атмосферную функцию рассеяния точки для длинных экспозиций. Численные расчеты дают соотношение между FWHM атмосферной PSF (называемой $\beta_{0.5}$, или качеством изображения) и $r_0$:


\begin{displaymath} \beta_{0.5} = 0.98 \lambda / r_0. \end{displaymath}(9)


На длине волны 0.5 микрон, качество изображения в 1 секунду соответствует $r_0$=10.1 cm.

Число Штреля атмосферной PSF точно такое же, как для идеального телескопа диаметром $r_0$ (это причина появления странного коэффициента 6.88) Таким образом, для большого телескопа $D \ll r_0$, число Штреля равно просто $S=(r_0/D)^2$.метров) и малых (меньше 1см) расстояниях, но оказывается, что это не очень важно.

Радиус Фрида $r_0$ иногда отождествляют с характерной шкалой атмосферных возмущений. Это не совсем верно: мы видим, что закон Колмогорова не имеет какой-либо характерной шкалы. Однако, только возмущения с размером порядка $r_0$ имеют значение для изображений с длинными экспозициями. На меньших размерах искажения много меньше, чем $\lambda$, на больших размерах $D_{\phi}$ становится таким большим, что атмосферная OTF равна нулю.
Локальная величина турбулентных флуктуаций индекса преломления в воздухе описывается структурной постоянной индекса преломления $C_n^2$ который измеряется в странных единицах, m$^{-2/3}$. Зависимость $C_n^2$ от высоты называется профилем турбулентности. Качество изображения зависит от суммарного влияния всех слоев атмосферы:

\begin{displaymath} r_0^{-5/3} = 0.423 \frac{2 \pi}{\lambda} \sec z \int_0^{H_max} C_n^2(h) {\rm d}h, \end{displaymath}(10)


где $h$ - высота, $z$ - зенитный угол, и интегрирование проводится от телескопа до максимальной высоты турбулентности (около 20 км).

Turbulence profile.
На этом рисунке показан пример профиля турбулентности в относительных единицах в Серро Паранал (сплошная линия). Доля турбулентной энергии до данной высоты показана штриховой линией. Хотя в этом примере значительная часть турбулентности сконцентрирована в двух слоях, все же около 1/3 общей энергии равномерно распределено по всем высотам.


Атмосферная постоянная во времени

Atmospheric time constant
Часто турбулентность можно смоделировать как экраны, дающие постоянный сдвиг фазы, которые перемещаются ветром перед телескопом. Зная пространственные свойства фазовых экранов (структурную функцию) и скорость ветра, можно установить временное поведение возмущений. Атмосферная постоянная времени $\tau_0$ определяется как



\begin{displaymath} \tau_0 = 0.31 \frac{r_0}{\bar{V}}, \end{displaymath}(11)

где $\bar{V}$ - скорость ветра, усредненная по высоте. Параметр $\tau_0$определяет, какой быстрой должна быть система адаптивной оптики.


Изображения астрономических объектов, полученные с экспозициями $\tau_0$ или короче, называются изображениями с короткими экспозициями. Они соответствуют фиксированным (замороженным) атмосферным аберрациям. Для более длинных экспозиций аберрации усредняются, и для экспозиций, намного длиннее $\tau_0$ можно получить PSF для длинных экспозиций.

Изопланатический угол





Isoplanatic angle
Атмосферная PSF для длинных экспозиций не зависит от направления (изопланатична), так как турбулентность и ее структурная функция статистически одинаковы в поле зрения. Однако моментальные атмосферные фазовые аберрации зависят от направления: для углового расстояния 10 секунд смещение луча зрения телескопа в атмосферном слое на высоте 10 км составит 0.5 м.


Стандартное определение атмосферного изопланатического угла $\theta_0$- это 
\begin{displaymath} \theta_0 = 0.31 \frac{r_0}{\bar{h}}, \end{displaymath}(12)




где $\bar{h}$ - это некоторая характерная средняя высота турбулентности. Берется среднее взвешенное $C_n^2(h)$ профиля с $h^{5/3}$, в результате для типичных условий получается достаточно большая высота$\bar{h} \approx 10$ км.

Это явление представляет очень большую проблему для адаптивной оптики, так как оно ограничивает расстояние между опорной звездой и исследуемым объектом. Оказывается, что для большинства объектов нет подходящих (ярких и близких) опорных звезд, поэтому необходимы искусственные лазерные опорные звезды. Как альтернативный метод, для увеличения исправляемого поля зрения можно попытаться применить трехмерное исправление турбулентности ( мульти-сопряженную адаптивную оптику, MCAO).



Моды Зернике



В оптике аберрации часто представляют суммой специальных полиномов, называемых полиномами Зернике. Случайные атмосферные аберрации можно представить в том же виде; однако, коэффициенты этих аберраций (расфокусировки, астигматизма и т.д.) будут случайными функциями, изменяющимися со временем.
Полиномы Зернике $Z_n^m(r,\theta)$ определяются в полярных координатах $(r,\theta)$ на окружности с единичным радиусом $(r<1)$. Они характеризуются радиальным порядком $n$ и азимутальным порядком $m$ (для данного $n$, $m$ принимает значения от 0 до $n$). Часто вместо двух индексов $n$ и $m$ используется последовательная нумерация с одним индексом $j$. Для данного радиального порядка $N$ существует $(N+1)(N+2)/2$ полиномов Зернике.
Первые моды Зернике названы так же, как известные аберрации, и имеют простой смысл (смотри таблицу первых 15 мод Зернике).



Преимущества использования мод Зернике вытекают из того, что они являются ортонормальными, то есть скалярное произведение $(Z_i, Z_j)$ равно 1, если $i=j$ и равно нулю в других случаях. Скалярное произведение определяется как интеграл по апертуре телескопа:

\begin{displaymath} (Z_i, Z_j) = \pi ^{-1} \int_{\vert\vec{r}\vert<1 } {\rm d} \vec{r} Z_i(\vec{r}) Z_j(\vec{r}). \end{displaymath}(13)





Теперь любая фазовая аберрация $\phi (\vec{r})$ внутри зрачка телескопа может быть представлена как бесконечная сумма полиномов Зернике

\begin{displaymath} \phi(\vec{r}) = \sum_{j=1}^{\infty} a_j Z_j(\vec{r}), \end{displaymath}(14)





и коэффициенты определяются как скалярные произведения:

\begin{displaymath} a_j = (\phi, z_j). \end{displaymath}(15)





Часто ограниченное число мод Зернике уже дает достаточно хорошее представление атмосферных аберраций. Если эти моды исправляются адаптивной оптикой, то получается изображение с качеством, практически неотличимым от определяемого дифракцией.
Мода поршень соответствует постоянной фазе, которая не влияет на изображение. Обычно эта мода игнорируется.

Ортонормальность мод Зернике предоставляет простую возможность вычислить дисперсию фазы, проинтегрированную по зрачку. Для одной моды это $a_j^2$. Дисперсия всех мод равна сумме квадратов коэффициентов, начиная с второго (поршень исключается).



Статистика атмосферных коэффициентов Зернике



В рамках модели турбулентности Колмогорова мы можем получить статистические свойства коэффициентов $a_j$, соответствующих атмосферным фазовым аберрациям. Математические преобразования приводят к простой формуле:

\begin{displaymath} \langle a_i a_j \rangle = c_{ij} \left( \frac{D}{r_0} \right) ^{5/3}, \end{displaymath}(16)





где коэффициенты $c_{ij}$ - это элементы так называемой матрицы Нолля. Коэффициенты низкого порядка (до радиального порядка 3) приведены ниже.


i \ j2345678910
20.449000000.014200
300.4490000.0142000
4000.0232000000
50000.023200000
600000.02320000
700.01420000.00619000
80.0142000000.0061900
900000000.006190
10000000000.00619





Как вы видите, матрица Нолля почти диагональная (однако для более высоких порядков это уже не так). Почему коэффициент $c_{11}$ отсутствует? Для колмогоровской турбулентности он бесконечен! Однако первая мода (поршень) не имеет значения для изображений.

Что произойдет, если мы исправим первые моды с помощью адаптивной оптики? Соответствующие коэффициенты обратятся в нули, и полная дисперсия фазы уменьшится. Обозначая усредненную по зрачку дисперсию фазы как $\langle \epsilon ^2 \rangle$, мы запишем

\begin{displaymath} \langle \epsilon ^2 \rangle = \left( \frac{D}{r_0} \right) ^... ...{\infty} c_{jj} = \left( \frac{D}{r_0} \right) ^{5/3} \Delta_J \end{displaymath}(17)





где первые $J$ моды Зернике исправлены.
Полная неисправленная атмосферная фазовая дисперсия (все моды кроме поршня) соответствует $\Delta_1 = 1.0299$. Другими словами, в телескопе с диаметром апертуры $r_0$ атмосферная фазовая дисперсия составляет примерно 1 квадратный радиан. Если наклоны исправлены, то $\Delta_3 = 0.134$. Это означает, что наклоны составляют 87% полной дисперсии фазы. Исправляя моды до радиального порядка 2, получим $\Delta_6 = 0.0648$, радиальный порядок 3 оставляет неисправленную дисперсию$\Delta_{10} = 0.0401$. Как вы видите, дальнейшее уменьшение дисперсии фазы требует исправления все большего числа мод Зернике.
Для большого число исправленных мод $J$ ($J>10$, что происходит в реальных системах), очень полезна асимптотическая формула Нолля:

\begin{displaymath} \Delta_J \approx 0.2944 J^{-\sqrt{3}/2} \end{displaymath}(18)





Сколько мод нужно исправить? Оптики знают, что когда остаточная фаза меньше 1 радиана, качество изображения приближается к ограниченному дифракцией. Теперь у нас есть все, чтобы определить необходимое число мод как функцию диаметра телескопа, качества изображения и длины волны! Достаточно записать $\langle \epsilon ^2 \rangle =1$ и подставить сюда все формулы. В результате получим

\begin{displaymath} J \approx 0.24 \left( \frac{D}{r_0} \right) ^{1.92}. \end{displaymath}(19)





Необходимо ли исправлять турбулентность, используя моды Зернике? Разумеется, нет, фазовые аберрации могут быть измерены и исправлены с помощью любого другого набора базовых функций, или вообще без всяких мод, непосредственно воздействуя на волновой фронт. Оказывается, что моды Зернике - это второй по качеству набор мод (лучший набор называется модами Карунена-Лоева). Выбор зависит от числа контролируемых параметров (мод), необходимого для достижения требуемой степени исправления; для мод Зернике оно меньше, чем для локального контроля волнового фронта.

Выводы. 

В этой главе были кратко изложены основы получения изображения в идеальном телескопе и с присутствием аберраций (PSF, OTF, ограничение дифракцией, число Штреля). Затем были введены основные параметры атмосферы, имеющие отношение к адаптивной оптике (фазовая структурная функция, качество изображения, $r_0$, постоянная времени и изопланатический угол). Исследовано разложение случайных фазовых аберраций по модам Зернике. Теперь мы можем определить число мод, которые необходимо исправить.
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)